1.3 Análisis matemático de señales.
Análisis de Fourier
Los fenómenos periódicos han
fascinado por mucho tiempo a la humanidad. Nuestros ancestros conocían las recurrencias
de las fases de la Luna y de ciertos planetas, las mareas de los lagos y los
océanos y los ciclos del agua. El cálculo y la ley de la gravitación de Isaac
Newton permitieron explicar la periocidad de las mareas, pero Joseph Fourier y
sus sucesores quienes desarrollaron el análisis de fourier que ha tenido
aplicaciones mas profundas en el estudio de los fenómenos naturales y en el
análisis de señales y datos.
Toda señal periódica, sin
importar cuan complicada parezca, puede ser reconstruida a partir de sinusoides
cuyas frecuencias son múltiplos enteros de una frecuencia fundamental,
eligiendo las amplitudes y fases adecuadas.
Transformada continúa de
Fourier:
t: tiempo
f: frecuencia
x (t): señal de prueba
Fasor de sondeo. (Kernel
Function)
X (f): espectro en función
de la frecuencia.
Una serie de Fourier es la
presentación de una función como una serie de constantes multiplicadas por
funciones se y/o cosenos de diferentes frecuencias. Una serie de Fourier nos
sirve para poder representar cualquier señal sumando únicamente senos y cosenos
que deben de tener una frecuencia múltiplo de la primera. Fourier no pudo
representar matemáticamente, quien lo hizo fue Laplace, años mas tarde.
Una serie de Fourier es una
serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las
series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de
Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones
senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras).
Joseph
Fourie
Una Serie de Fourier es la
representación de una función como una serie de constantes multiplicadas por
funciones seno y/o coseno de diferentes frecuencias.
Una serie de Fourier nos
sirve para poder representar cualquier señal sumando únicamente senos y cosenos
que deben de tener una frecuencia múltiplo de la primera. Fourier no pudo
representar matemáticamente, quien lo hizo fue Laplace, años mas tarde.
Una serie de Fourier es una
serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica.
Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis
de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la
descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones
senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras).
El nombre se debe al
matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando
estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series
sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta
área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. El 16 de mayo
de 1830 muere el matemático y físico francés Joseph de Fourier, años más tarde después
de haber dado un salto tremendo en el desarrollo de la descripción de las
señales continuas y periódicas.
Es una aplicación usada en
muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en
la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis
vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión
de datos.
En ingeniería, para el caso
de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes
espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un
sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de
espectros.
Aplicaciones de Fourier:
Generación de formas de onda
de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides
generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias
ya están determinadas.
Análisis en el
comportamiento armónico de una señal. Reforzamiento de señales.
Estudio de la respuesta en
el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es
senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución
en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
La resolución de algunas
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares
en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones
prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.
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